نوسان ساز هارمونیک ساده

اگر کسی از من سؤال کرد: "آیا مفهومی در فیزیک وجود دارد که بارها و بارها در طول مطالعات ظاهر می شود؟خوب ، اولین چیزی که قطعاً به ذهنم خطور می کند ، مفهوم این است. اسیلاتور هارمونیک ساده ترین مدل یک فرآیند نوسان فیزیکی است و در بسیاری از شاخه های مختلف فیزیک کاربرد دارد - نوسانات فقط در همه جا وجود دارد!

معادله حرکت

معادله حرکت توسط قانون دوم نیوتن ارائه شده است که مربوط به شتاب ذرات $ ddot (t) $ به نیروی بازیابی $ -k ، x (t) $ (داده شده توسط قانون هوک) با $ k $ ثابت بهار است: [1] [2] start & m ، ddot (t) = - k ، x (t) nonumber \ leftrightarrow quad & m ، ddot (t) + k ، x (t)= 0 برچسب پایان

این یک معادله دیفرانسیل با خصوصیات زیر است: [3]

• این معمولی است: فقط یک متغیر مستقل ، $ t $ وجود دارد.
• خطی: اگر $ x_1 (t) $ و $ x_2 (t) $ راه حل ها و $ $ و $ b $ برخی ضرایب هستند ، سپس $ ، x_1 (t)+ b ، x_2 (t) $ یک راه حل استهمچنین.
• همگن: همه اصطلاحات وقایع چند برابر x (t) یا یکی از مشتقات آن است.
• و مرتبه دوم: بالاترین مشتق اتفاق از سفارش 2 است.

اگر برای حل معادلات دیفرانسیل بسیار جدید هستید: هیچ قانون عمومی سخت یا سریع وجود ندارد ، چگونه می توانید راه حلی برای یک مورد خاص پیدا کنید و حتی نمی توانید مطمئن باشید که اصلاً راه حل وجود دارد. بنابراین ، حل معادلات دیفرانسیل نیاز به تجربه ، مطالعه کامل از خصوصیات معادلات و همچنین یک شهود خوب دارد. خوشبختانه ، موردی که اکنون در حال مطالعه هستیم یکی از موارد ساده است!

راه حل

با توجه به قضیه وجود و منحصر به فرد بودن ، برای این معادله دیفرانسیل یک راه حل منحصر به فرد برای هر جفت از شرایط اولیه وجود دارد.[4] شرایط اولیه موقعیت $ x_0: = x (t_0) $ و سرعت $ v_0: = dot (t_0) $ mass $ m $ در برخی از زمان های اولیه $ t_0 $ است. برای راحتی می توان به منظور ساده کردن معادلات بعدی (بدون از دست دادن کلی بودن) $ t_0 = 0 $ را تنظیم کرد. اکنون هدف این است که تابعی را پیدا کنید که Eq را حل کند. eqref برای همه شرایط اولیه ممکن. چنین عملکردی به عنوان یک راه حل کلی گفته می شود.

حدس زدن یک راه حل

در معادله حرکت eqref $ ddot (t) $ چند $ x (t) $ است. این بدان معناست که عملکرد مورد نظر هنگام گرفتن دو مشتق ، بدون تغییر در یک عامل ثابت باقی می ماند. آیا شما عملکردی را می دانید ، که مشتق دوم فقط یک چندین عملکرد است؟در واقع نامزدهای مختلف احتمالی وجود دارند ، به عنوان مثال: شروع x (t) = sin ( omega_0 t) \ cos ( omega_0 t) \ exp ( lambda t) end qquad kquad kquad kquad kquad kquad kquad kquad kquad upwrrowwrow qquad ddot (t) = start - omega_0^2 sin ( omega_0 t) \ - omega_0^2 cos ( omega_0 t) lambda^2 exp ( lambda t) پایان پایان در اینجا $ omega_0 $ و $ lambda $ فقط برخی از ثابت ها هستند که به عنوان عوامل تناسب در مشتقات توابع ظاهر می شوند.

توابع مثلثاتی

بگذارید ابتدا عملکرد سینوسی را انتخاب کنیم و تأیید کنیم که این یک راه حل معتبر از معادله حرکت با قرار دادن آن در Eq است. eqref: شروع سمت چپ [ - m ، omega_0^2 + k ، right] sin ( omega_0 t) = 0 پایان این معادله برای همه $ t $ صادق است اگر و فقط اگر اصطلاح در آن باشدبراکت های مربع از بین می روند که در صورتی که $ omega_0^2: = k/m $. همین مورد را می توان در مورد عملکرد Cosine نیز یافت.

اکنون ما در حال حاضر برخی از راه حل های خاص برای معادله دیفرانسیل (به عنوان مثال $ x (t) = sin ( omega_0t) $ و $ x (t) = cos ( omega_0 t) $) پیدا کردیم. با این حال ، تاکنون این راه حل ها فقط جفت های فردی از شرایط اولیه را ارائه می دهند: شروع x (t) = sin ( omega_0 t) quad & redarrrow quad شروع x (0) \ dot (0) end= شروع sin ( omega_0 cdot 0) \ omega_0 cos ( omega_0 cdot 0) end = شروع 0 \ omega_0 end [2ex] x (t) = cos ( omega_0 t) quad & rightarrow quad start x (0) \ dot (0) end = start cos ( omega_0 cdot 0) \ - omega_0 sin ( omega_0 cdot cdot0) end = شروع 1 \ 0 پایان پایان

According to the general theory of linear differential equations, the set of solutions of this second-orderODE forms a two-dimensional vector space. The general solution can therefore be obtained by a linear combination of two linearly independent particular solutions. As the two trigonometric functions are linearly independent to each other, one can write: x08egin x(t) = a , sin(omega_0 t) + b , cos(omega_0 t) quad extquad omega_0 = sqrt> label پایان در اینجا $ a ، b in mathbb $ ضرایب دلخواه هستند که می توانند برای تولید مثل هر مجموعه ای از شرایط اولیه تنظیم شوند: [5] شروع a: = frac<omega_0> Quad Text Quad B: = X_0 End

راه حل کلی نوسان ساز هارمونیک ساده به شرایط اولیه $ x_0 = x (t = 0) $ و $ v_0 = dot (t = 0) $ از شیء نوسان و همچنین جرم آن $ m $ و بهار بستگی دارد. ثابت $ k $. توسط: شروع x (t) = frac داده شده است<omega_0>, sin(omega_0 t) + x_o , cos(omega_0 t) quad extquad omega_0 = sqrt>پایان

عملکرد نمایی

همانطور که در بالا مشاهده شد ، نه تنها توابع سینوسی و کاسین متناسب با مشتقات دوم خود هستند بلکه برای عملکرد نمایی نیز یکسان است و بنابراین می توان یک راه حل کلی را از عملکرد نمایی نیز ساخت. باز هم ، یکی با وارد کردن ansatz $ x (t) = e^ شروع می شود<lambda ,t>$ به معادله حرکت eqref برای تأیید اینکه این یک راه حل است: شروع سمت چپ (m ، lambda^2 + k ، راست) ، e^<omega_0 t>&= 0 onumber\ Rightarrow lambda = pm sqrt>& = pm i ، omega_0 t پایان این دو مقدار ممکن (پیچیده) برای پارامتر رایگان $ lambda $ که به خصوصیات خاص تنظیم بستگی دارد (بهار ثابت $ k $ و توده $ m $)بشرباز هم ، یک راه حل کلی با ترکیبی خطی از راه حل های خاص مربوطه $ e^ تشکیل می دهد$ و $ e^$ (که به طور خطی با یکدیگر مستقل هستند). شروع x (t) & = a ، e^+ b ، e^ nonumber \ & = a سمت چپ [ cos ( omega_0 t) + i sin ( omega_0 t) راست] + b سمت چپ [ cos ( omega_0 t) - i sin ( omega_0 t) RIGHT] NONUMBER \ & = LEFT (A + B RIGHT) COS ( OMEGA_0 T) + I سمت چپ (A-B RIGHمورد استفاده به منظور بازنویسی نمایی پیچیده از نظر توابع مثلثاتی. اکنون قرار است x (t) یک عدد واقعی باشد زیرا توصیف جابجایی (واقعی) ذرات را توصیف می کند. این تنها در صورتی تضمین می شود که $ $ و $ B $ با شماره im = 0 $ و $ re = 0 $ به گونه ای باشند که هر دو شرایط در Eq. eqref دارای پیش فاکتورهای واقعی است. این بدان معنی است که $ a $ و $ b $ پیچیده برای یکدیگر هستند: start im = 0 quad & leftrightarrow quad im = - im nonumber \ re = 0 quad & leftrightarrow quad re = re nonumber \ leftrightarrow quad b & = a^* label end بنابراین در واقع فقط یک پارامتر پیچیده $ $ با دو مؤلفه واقعی مستقل $ re $ $ $ $ وجود دارد. که می تواند دوباره با شرایط اولیه مشخص شود. بنابراین یک نفر eqref را به eqref وارد می کند و x (t) و مشتق آن را در $ t = 0 $ ارزیابی می کند: start start x (t = 0) \ dot (t = 0) end & stackrel<eqref> شروع a+a^* \ i (a-a^*) ، omega_0 end = start x_0 \ v_0 پایان پایان از آنجا= - frac<omega_0>$ [6] ، یکی می یابد: شروع leftrightarrow quad a & = frac ، سمت چپ (x_0 - i frac<omega_0> راست) پایان راه حل می شود - به طور مشابه با نتیجه بخش قبلی: شروع x (t) = frac<omega_0> ، sin ( omega_0 t) + x_0 ، cos ( omega_0 t) end

رویکرد سیستماتیک: سری قدرت ANSATZ

وقتی برای اولین بار در حال مطالعه معادلات دیفرانسیل بودم ، با حدس زدن آن فقط از یافتن راه حل خوشحال نبودم. منظور من این است - در طول تمام آموزش های ریاضی من یاد گرفته ام که چگونه با استفاده از قوانین کلی ، به طور سیستماتیک راه حل هایی برای مشکلات ریاضی پیدا کنم. و حالا قرار بود فقط راه حل را حدس بزنم؟

من نمی دانم که آیا راهی برای استخراج آن راه حل وجود دارد یا خیر. و خوشحالم که به شما گفتم: وجود دارد! خوب ، نه به طور کلی ، بلکه حداقل برای معادلات دیفرانسیل که شبیه به نمونه مورد نظر است.

این روش به شرح زیر است: عملکرد ناشناخته $ x (t) $ به عنوان یک سری قدرت به منظور به دست آوردن نمایندگی مشخص تر نوشته شده است. با قرار دادن آن در معادله دیفرانسیل می توان شرایط را برای ضرایب بدست آورد و از این طریق عملکرد راه حل را مشخص کرد.

در حالی که این کار را انجام می دهد ، به طور ضمنی فرض می کند که عملکرد مورد نظر را می توان در وهله اول به عنوان یک سری قدرت نشان داد. به خاطر فشرده سازی ، من نمی خواهم در مورد الزامات ریاضی برای آن بحث کنم. با این حال ، اگر کسی با این روش یک راه حل معتبر پیدا کند ، روش به صورت گذشته نگر توجیه می شود.

نمایندگی سری Power از $ x (t) $ (هنگامی که در محور $ t = 0 $) است که توسط [7] شروع x (t) = sum_^ داده شده است.<infty>a_n ، t^n quad text quad n in mathbb quad text quad a_n in mathbb label end و مشتقات زیر را دارد: شروع dot (t) & = sum_^<infty>n ، a_n ، t^= sum_^<infty>(n+1) ، a_ ، t^n label \ ddot (t) & = sum_^<infty>n ، (n-1) ، a_n ، t^ = sum_^<infty>(n+2) (n+1) ، a_ ، t^n label \ end درج این عبارات در Eq. eqref بازده: شروع m ، ddot (t) + k ، x (t) = sum_^<infty> سمت چپ [m ، (n+2) (n+1) ، a_+k ، a_n راست] t^n = 0 end

این عبارت فقط در صورتی صادق است که اصطلاح در براکت های مربع از بین برود.[8] که شرط انتخاب ضرایب سری قدرت را فراهم می کند: شروع m ، (n+2) (n+1) ، a_+k ، a_n = 0 nonumber \ leftrightarrow quad a_ = - frac frac label پایان اولین چیزی که در اینجا توجه می کنید این است که $ a_2 $ ضریب با کمترین شاخص است که در واقع می تواند توسط رابطه عود محاسبه شود. بنابراین ، مقادیر برای $ A_0 $ و $ A_1 $ باید برای دستیابی به یک راه حل منحصر به فرد شناخته شود.

Let us go ahead and find an expression for $a_n$ which is only dependent on the prescribed values $a_0$ and $a_1$ by writing down the first iterations explicitely: x08egin a_2 &= - frac frac \ a_3 &= - frac frac \ a_4 &= left(- frac ight)^2 frac \ a_5 &= left(- frac ight)^2 frac \&qquaddots onumber end In this simple case it is easy to see that the general rule is given by x08egin a_n = x08egin left( -frac ight)^> frac ؛ ؛ qquad n text\[1ex] left( -frac ight)^> frac qquad n متنend end and if you are sceptical, you can verify that by induction. [9] And based on the previous sections, from now on the notation $omega_0 := frac$ will be used again in order to keep the terms compact. The expressions for the coefficients $a_n$ can now be used to write down the more specific series representation $x(t)$: [10] x08egin x(t) &= x_ ext(t) + x_ ext(t) qquad ext \[2ex] x_ ext(t) :&= sum_> a_0 left(-omega_0^2 ight)^> frac qquad سمت چپ | Quad J: = frac RIGHT. nonumber \ & = sum_^<infty>a_0 (-1)^ j omega_0^ frac nonumber \ & = a_0 sum_^<infty>(-1)^j frac<left(omega_0 t ight)^> onumber\ &= a_0 , cos(omega_0 t) \[2ex] x_ ext(t) :&= sum_> a_1 left(-omega_0^2 ight)^> frac qquad سمت چپ | Quad J: = frac RIGHT. nonumber \ & = sum_^<infty>a_1 (-1)^j omega_0^ frac> nonumber \ & = frac<omega_0> sum_^<infty>(-1)^j frac<left(omega_0 t ight)^<2j+1>> nonumber \ & = frac<omega_0> ، sin ( omega_0 t) پایان ، بر اساس Eqs. eqref و eqref به راحتی می توان دید که ضرایب باقیمانده با شرایط اولیه تعیین می شوند start x (t = 0) = a_0 = x_0 text quad dot (t = 0) = a_1 = v_0 endبه گونه ای که راه حل توسط start x (t) = x_0 ، cos ( omega_0 t) + frac داده شود<omega> ، sin ( omega_0 t) پایان که نتایج بخش های قبلی را بازتولید می کند.

در موارد خاص ، رویکرد سری قدرت راهی مناسب برای به دست آوردن راه حل های معادلات دیفرانسیل بدون ایجاد فرضیات بی اساس در مورد شکل خاص عملکرد راه حل فراهم می کند. با این حال ، حتی در این مثال نسبتاً ساده ، چند مرحله را شامل می شود و مطمئناً به اندازه رویکرد حدس زدن ظریف نیست. به همین دلیل معمولاً هنگام آموزش نحوه حل معادلات دیفرانسیل ، روش انتخاب نیست. و در بیشتر موارد ، شما به عنوان مثال سریعتر از رویکرد نمایی به جای روش سری قدرت استفاده خواهید کرد.< Pan> ، sin ( omega_0 t) پایان ، بر اساس Eqs. eqref و eqref به راحتی می توان دید که ضرایب باقیمانده با شرایط اولیه تعیین می شوند start x (t = 0) = a_0 = x_0 text quad dot (t = 0) = a_1 = v_0 endبه گونه ای که راه حل توسط start x (t) = x_0 ، cos ( omega_0 t) + frac داده شود